Методы прогнозирования временных рядов в маркетинговых исследованиях

к. т. н., доцент кафедры менеджмента
и информационных технологий в экономике
филиала ГОУ ВПО «МЭИ (ТУ)», г. Смоленск

В статье проведен анализ использования известных методов прогнозирования в маркетинговых исследованиях с применением информационных технологий. Предло- жена реализация методов краткосрочного прогнозирования при помощи программных средств.

Введение

Прогноз – это научно обоснованное суждение о возможных состояниях объекта в будущем. Существует около двухсот методов прогнозирования. Основными характеристиками прогноза являются: точность прогноза, достоверность прогноза и ошибка прогноза [1].

В работе проведен анализ использования известных методов прогнозирования в маркетинговых исследованиях с применением информационных технологий. Предложена реализация методов краткосрочного прогнозирования при помощи программы электронных таблиц Microsoft Excel, системы компьютерной математики MathCAD и универсального статистического пакета SPSS.

Предметом исследования в данном случае является прогнозирование объема продаж по эмпирическим зависимостям, объектом – «черный ящик», для которого невозможно построить детерминированное математическое описание. Временной ряд значений объекта формируется под действием трех составляющих: детерминированной, случайной, неопределенной. Основной идеей рассматриваемых методов прогнозирования является выделение детерминированной составляющей.

Для решения задачи прогнозирования временных рядов в маркетинговых исследованиях использованы следующие инструменты исследования:

1. функции «Поиск решения», экспоненциального сглаживания и скользящего среднего про граммы Excel;
2. функции predict и loess пакета MathCAD;
3. линейный регрес сионный анализ при помощи меню Analyze – Regression – Curve estimation пакета SPSS.

Предложены и реализованы в MathCAD методы (интервальный метод наименьших квадратов и метод прогнозирования с заранее задаваемой погрешностью), расширяющие круг задач, решаемых в практическом маркетинге.

Усовершенствование метода Хольта–Брауна

Рассмотрим метод экспоненциального сглаживания, предложенный Хольтом для решения задач прогнозирования временных рядов [2]. Реализация экспоненциального сглаживания осуществляется с помощью постоянных сглаживания α и β по трем уравнениям.

Первое уравнение описывает сглаженный ряд для прогнозного значения Y на момент времени t с использованием информации на момент времени t–1.

где α – постоянная сглаживания; Yпрогн., t, Yпрогн., t–1 – прогнозные значения показателя в последующий и предыдущий момент времени; Yt – табличное значение показателя в момент времени t; Тt–1 – значение тренда на момент времени t–1, которое определяется из второго уравнения.

Второе уравнение служит для оценки тренда:

где β – постоянная сглаживания. Для определения прогноза на p отсчетов по времени используется третье уравнение:

Частным случаем метода Хольта является метод Брауна, когда α = β. Постоянные сглаживания α и β подбираются путем перебора с определенным шагом. При более высоких значениях α в большей степени учитываются прошлые значения ряда; аналогично более высокие значения β оценивают прошлое движение процесса по сравнению с существующим.

Основная задача заключается в подборе оптимальных значений постоянных сглаживания α и β, для решения которой предложено использование инструмента «Поиск решения» программы электронных таблиц Microsoft Excel.

Рассмотрим этот подход на примере прогнозирования объема продаж фирмы KODAK. Исходные данные для моделирования объема продаж по методу Хольта с заданными значениями α и β, равными 0,3, приведены в табл. 1.

Таблица 1

Исходные данные объема продаж фирмы KODAK

При расчете для каждого из значений постоянной сглаживания определялась ошибка ретропрогноза по следующей формуле:

На основе ошибки ретропрогноза вычисляют величину ε2 прогн. То значение α, для которого суммарное значение ε2 прогн. является минимальным, считается наилучшим для данного ряда значений.

Ошибку прогноза можно оценить по величине нормированной остаточной дисперсии по следующей формуле [3]:

где n – число точек ряда; m – число подбираемых параметров.

Полученные с помощью электронной таблицы Excel результаты показывают хорошее соответствие между сглаженными и наблюдаемыми значениями отклика практически по всему ряду (коэффициент детерминации R2 = 0,98, нормированная остаточная дисперсия σ2 = 1,77).

Поскольку значения параметров сглаживания были заданы произвольно, необходимо подобрать их оптимальные значения [4].

Результаты оптимизации по переменным α и β приведены в табл. 2.

Таблица 2

Результаты оптимизации по переменным α и β

Результаты, полученные при оптимальных параметрах сглаживания (α = –0,46, β = 1,11), также показывают хорошее соответствие между сглаженными и наблюдаемыми значениями отклика (коэффициент детерминации R2 = 0,99, нормированная остаточная дисперсия σ2 = 0,71).

На следующем этапе решения задачи была выполнена оптимизация по четырем переменным (параметрам сглаживания α, β и по переменным Yпр.,t, Tt, характеризирующим соответствующие параметры в начальный момент времени). Результаты оптимизации приведены в табл. 3.

Таблица 3

Результаты оптимизации по переменным α, β, Yпр.,t и Tt

Результаты, полученные при четырех оптимальных параметрах (α = –0,36, β = 1,02, Yпр.,t = 3,54, Тt = –1,68), показывают лучшее соответствие между сглаженными и наблюдаемыми значениями отклика (коэффициент детерминации R2 = 0,99, нормированная остаточная дисперсия σ2 = 0,6).

Считается, что всегда можно подобрать такую пару параметров сглаживания, которая дает большую точность модели на тестовом наборе, и затем можно использовать эту пару параметров при прогнозировании. Предполагается, что значения α и β принадлежат интервалу (0, 1). Как показывает опыт, их следует выбирать из диапазона [0,25 < α, β < 0,5]. Если нет специальных соображений, предлагается начать моделирование с α = β = 0,3, а затем их несколько варьировать [2].

На рис. 1 представлены результаты решения задачи прогнозирования с помощью системы компьютерной математики MathCAD при наличии указанных общепринятых ограничений с использованием предлагаемого метода оптимизации по четырем переменным.

Рис. 1. Протокол решения задачи прогнозирования с использованием метода оптимизации по четырем переменным

Результаты, полученные при четырех оптимальных параметрах (α = 0, β = 0,278, Yпр.,t(Y) = 3, Тt(T) = 0,2) и с учетом ограничений на параметры сглаживания, показывают худшее соответствие между сглаженными и наблюдаемыми зна чениями отклика (нормированная остаточная дисперсия σ2(R) = 1,569).

Рисунок 2 иллюстрирует расчет прогнозного значения объема продаж (Pj = 19,998) при найденных с помощью функции predict и loess системы компьютерной математики MathCAD оптимальных значениях параметров α, β, Yпр.,t и Tt.

Рис. 2. Прогнозирование объема продаж фирмы KODAK

Далее была решена задача прогнозирования объема продаж фирмы KODAK с помощью метода краткосрочного прогнозирования Брауна [5]. Результаты расчетов представлены в табл. 4 и на рис. 3.

Таблица 4

Результаты, полученные с помощью метода Брауна в Excel

Рис. 3. Результаты, полученные с помощью метода Брауна в MathCAD

Результаты, полученные при оптимальном параметре сглаживания α = 1,64, показывают удовлетворительное соответствие между сглаженными и наблюдаемыми значениями отклика (коэффициент детерминации R2 = 0,967, нормированная остаточная дисперсия σ2 = 3,32).

Прогнозирование с использованием линейного разностного уравнения

Для прогнозирования объема продаж фирмы KODAK также было использовано линейное разностное уравнение в следующем виде [6]:

В результате расчетов в программе Excel с помощью инструмента «Поиск решения» было получено следующее уравнение для прогнозирования объема продаж:

Прогнозные значения объема продаж представлены в табл. 5.

Таблица 5

Прогнозные значения объема продаж

Прогнозирование с помощью интервального оценивания

Для прогнозирования объема продаж фирмы KODAK с помощью интервального оценивания можно использовать следующие инструменты: систему компьютерной математики MathCAD и универсальный статистический пакет SPSS. Решение задач интервального оценивания параметров существенно отличается от решения задачи нахождения среднего точечного значения параметров [7].

Так, например, при традиционном поиске параметров линейной зависимости уравнение имеет вид:

В интервальной постановке данное уравнение должно быть записано в следующем виде:

где inf, sup обозначают нижнюю и верхнюю границу переменных.

Алгоритм интервального оценивания параметров линейной зависимости по методу наименьших квадратов имеет следующий вид [7]:

1. задание исходных данных;
2. вычисление среднего значения для хk, k = 1, 2… n;
3. вычисление параметров линейной зависимости a и b;
4. вычисление расчетного значения yрасч.k для найденных значений a и b;
5. определение значения критерия Стьюдента t;
6. вычисление некоторой величины D:

7) вычисление нижней и верхней границ для a и b:

8) вычисление нижней и верхней границ для yрасч.k:

Для использования алгоритма необходимо было предварительно линеаризовать зависимость объема продаж по годам, что сужает круг задач, решаемых с помощью предложенной методики. Для устранения этого недостатка предложено решение задачи прогнозирования с заранее задаваемой погрешностью в MathCAD для любой нелинейной зависимости.

Метод состоит из следующих этапов:

1. расчет относительной погрешности отклонения заданных и расчетных данных при изменении параметров a и b от нижних значений интервалов an, bn до верхних значений интервалов av, bv с некоторым шагом по каж дому параметру;
2. в процессе расчета с помощью программного блока в MathCAD происходит запоминание всех значений параметров a и b, для которых относи тельная погрешность отклонения заданных и расчетных данных по всем временным точкам прогнозирования меньше или равна заданной погре шности прогнозирования;
3. по найденным таким образом значениям a и b с помощью стандартных функций MathCAD min и max определяются нижние и верхние границы интервалов.

В результате интервальная прогнозная зависимость с 10-процентной погрешностью между Yпрогн.(t) для 95% доверительного интервала имеет следующий вид:

Результаты прогнозирования на 1993 г. при использовании различных методов и программных продуктов представлены в табл. 6.

Таблица 6

Результаты прогнозирования объема продаж на 1993 г. при использовании различных методов и инструментов прогнозирования

Анализ результатов прогнозирования объема продаж, представленных в табл. 6, позволяет сделать следующие выводы:

• модели прогнозирования, полученные при использовании различных модификаций метода Хольта, метода Брауна, функций predict и loess в MathCAD, а также с помощью метода скользящих средних в Excel, обладают примерно одинаковой способностью прогнозирования;
• построение прогнозной модели с использованием линейного разностного уравнения дает результат, резко отличающийся от других моделей;
• результаты прогноза по предлагаемому автором методу достаточно хорошо согласуются с результатами, полученными известными методами. Более того, они позволяют оценить нижнюю и верхнюю границы прогноза, что особенно важно в условиях неопределенности исходной информации.

Литература

1. Светуньков С.Г. Методы маркетинговых исследований: Учеб. пособие. – СПб.: ДНК, 2003.
2. Ханк Д.Э., Уичерн Д.У., Райтс А.Дж. Бизнес-прогнозирование. – М.: Вильямс, 2003.
3. Орлов А.И. Эконометрика: Учебник. – М.: Экзамен, 2002.
4. Холоднов В.А., Лебедева М.Ю. Системный анализ и принятие решений. Решение задач оптимизации химико-технологических систем в среде Mathcad и Excel: Учеб. пособие. – СПб.: СПбГТИ (ТУ), 2005.
5. Лебедева М.Ю. Анализ использования метода Брауна для прогнозирования в маркетинговых исследованиях // Маркетинг в России и за рубежом. – 2008. – № 4.
6. http://prognoz.org/prognozistu/programma-postroeniya-i-analiza-parametricheskogo prognoza.
7. Шапорев С.Д. Прикладная статистика: Учеб. пособие. – СПб: СПб. Балт. гос. тех. ун., 2003.

Отдельные номера журналов Вы можете купить на сайте www.5B.ru
Оформление подписки на журнал: http://dis.ru/e-store/subscription/